263363 Route Surveying (การสำรวจแนวทาง) Party #3: ธันวาคม 2015

โค้งดิ่ง (Vertical Curve or Profile Grade)

\ที่มา : https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRfCl5cc
fRlGOEzytk77u11ZjVhOb0Eja5ZgUEIgDMNOSJogRZs

ปกติในแบบก่อสร้างของกรมทางหลวงจะกำหนดค่าระดับก่อสร้างพร้อมทั้งข้อมูลโค้งตั้ง (Vertical Curve) ไว้แล้ว โปรแกรมนี้จะนำข้อมูลโค้งตั้งมาคำนวณค่าระดับก่อสร้าง เพื่อตรวจสอบกับค่าระดับก่อสร้างที่กำหนดไว้ว่าตรงกันหรือไม่ เนื่องจากอาจมีค่าตัวเลขที่ผิดพลาดไปอันเกิดมาจากการลอกแบบ (Draft) หรือเกิดจากการแก้ไขแบบในขณะออกแบบข้อมูลที่ใช้ประกอบด้วย

- Station เริ่มต้น

- ค่าระดับ (Elevation) ที่ Station เริ่มต้น

- PVI Station

- ค่าระดับ (Elevation) ที่ PVI Station นั้น

- Lin (ความยาวโค้งด้านเข้าที่ PVI Sta. นั้น คือระยะราบจาก PVC - PVI)

- Lout (ความยาวโค้งด้านออกที่ PVI Sta. นั้น คือระยะราบจาก PVI - PVT)

- Station สุดท้าย

- ค่าระดับ (Elevation) ที่ Station สุดท้าย

ที่มา : http://kontumntang.com/images/roadwork_content/vcurve/image004.png

หมายเหตุ   - ระหว่าง Station เริ่มต้นถึง Station สุดท้าย มีได้หลาย PVI Sta.

                 - Lin จะเท่ากับ Lout หรือไม่ก็ได้

                 - Station ที่เป็น Equation ต้องเตรียมไว้ด้วย

การสร้างถนนไม่สามารถกำหนดให้ระดับก่อสร้างอยู่ในระดับราบได้ตลอด
เพราะภูมิประเทศเปลี่ยนแปลงไม่สม่ำเสมอ เพื่อให้การเปลี่ยนทิศทางของถนนในทิศทางขึ้น และลงราบเรียบ จึงต้องใช้โค้งพาราโบลาในการปรับระดับเนื่องจากเป็นโค้งที่มีการเปลี่ยนแปลงค่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเป็นเส้นตรงและมีค่าอนุพันธ์อันดับที่สอง   เป็นค่าคงที่ทำให้การเปลี่ยนแปลงระดับเส้นโค้งมีความราบเรียบ(smooth transition) 

            คุณสมบัติของพาราโบลา

ที่มา
: http://www.kontumntang.com/index.php/download/9-used-data-category

การเลื่อนจุด Vertex ของพาราโบลา 

   ในการเลื่อนจุด Vertex ของพาราโบลาจากจุด (0,0)ไปยังจุด (h,
  k) ค่าของ X ในสมการจะเปลี่ยนเป็น  ( x-h ) และค่า y ในสมการจะเปลี่ยนเป็น ( y-k )

สรุป รูปแบบของสมการพาราโบลาที่สามารถใช้ในการคำนวณโค้งดิ่ง

> > > 1. คำนวณค่าระดับบนโค้งดิ่งด้วยวิธี Offset Form < < <

สิ่งที่ควรรู้ 1. PVC คือ จุดเริ่มโค้ง (point of curvature)

2. PVT คือ จุดสุดโค้ง (point of tangency)

3. PVI คือ จุดเปลี่ยนโค้ง(point of intersection)

4. L คือ ความยาวโค้ง (length of curve) เป็นความยาวโค้งในแนวราบ (horizontal surface)

5. l คือ ครึ่งหนึ่งของความยาวโค้งในแนวราบ (L/2)

6. g1 คือ เกรด (%) ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PC (Back tangent)

7. g2 คือ เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PT (Forward tangent)

8. A คือ ผลต่างทางพีชคณิตของเกรดระหว่าง PC และPT ที่จุด PI (A = g2-g1)

A > 0 → โค้งดิ่งหงาย (sag curve)

A < 0 → โค้งดิ่งคว่ำ (summit curve)

9. e = ระยะในแนวดิ่งระหว่าง PI กับเส้นโค้งพาราโบลา

10.

= ผลต่างของระยะในแนวราบจากจุดเริ่มต้นโค้ง (PVC) ถึงจุด (STA) ใดๆบนเส้นโค้ง

11.

= ผลต่างของระยะในแนวดิ่ง (offset) จากจุด (STA) ใดๆบนเส้นโค้งถึงเส้นเกรด

- ตัวอย่าง คำนวณค่าระดับทุกๆ ระยะ 25 เมตรบนโค้งดิ่งที่ประกอบด้วยเส้นเกรด (Grade line) ที่มีความชัน +1% (upgrade, g1) และ -2% (downgrade, g2) ตัดกันที่จุด PVI STA. 10+500 มีค่าระดับ = 100 เมตร และกำหนดให้มีความยาวของเส้นโค้งในแนวราบ(horizontal surface, L) = 200 เมตร

ขั้นตอนวิธีการดำเนินงาน

1. คำนวณค่า k โดยใช้สูตร

, ค่า h โดยใช้สูตร

และค่า o โดยใช้สูตร

2. คำนวณหาค่า

ของแต่ละ STA. บนโค้งดิ่ง จากนั้นคำนวณหาค่าระดับบน Grade line หรือค่าระดับบนเส้นสัมผัสของ STA เหล่านั้น โดยใช้สูตร

วิธีนี้จะใช้ค่า

ตลอดระยะของ L สำหรับค่า

จะใช้ในการหาค่า e

3. คำนวณหาค่า

ของแต่ละ STA. ใช้สูตร

ค่า

นี้จะเป็นค่าผลต่างของระยะในแนวดิ่งจากจุดเริ่มต้นโค้ง (PVC) ถึงจุด (STA.) ใดๆบนเส้นโค้ง

4. คำนวณหาค่าระดับบนโค้งจากสูตร

5. คำนวณค่า First difference ของแต่ละ STA. โดยใช้สูตร

ซึ่งเมื่อนำไปเขียนกราฟจะเป็นเส้นตรง และค่า First difference ที่ STA. PVC ที่ STA. PVT จะต้องเท่ากับ

และที่จุด Vertex point จะต้องเท่ากับ 0

6. ตรวจสอบการคำนวณโดยการคำนวณหาค่า Second difference โดยใช้สูตร

ซึ่งค่า Second difference จะมีค่าคงที่และจะต้องเท่ากันทุกตัวและเท่ากับ

ถ้าการคำนวณถูกต้อง

ค่าต่างๆ ที่คำนวณได้จะถูกนำมาใส่ไว้ในตารางที่จัดเตรียมขึ้นสำหรับการวางโค้งดิ่งดังแสดงในตาราง

> > > 2. คำนวณค่าระดับบนโค้งดิ่งด้วยวิธี Vertex Form < < <

สิ่งที่ควรรู้ 1. PVC คือ จุดเริ่มโค้ง(point of curvature)

2. PVT คือ จุดสุดโค้ง(point of tangency)

3. PVI คือ จุดเปลี่ยนโค้ง(point of intersection)

4. L คือ ความยาวโค้ง(length of curve) เป็นความยาวโค้งในแนวราบ

คือ เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PC (Back tangent)

คือ เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PT (Forward tangent)

7. A คือ ผลต่างพีชคณิตของเกรดระหว่าง PC และ PT ที่จุด PI

A > 0 →โค้งดิ่งหงาย (sag curve)

A < 0 → โค้งดิ่งคว่ำ (summit curve)

8. H คือ ระยะในแนวดิ่งระหว่าง PI กับเส้นโค้งพาราโบลา

9. R คือ รัศมีความโค้งที่จุดVertex

- ตัวอย่าง คำนวณค่าระดับทุกๆ ระยะ 25 เมตรบนโค้งดิ่งที่ประกอบด้วยเส้นเกรด (Grade line) ที่มีความชันเมื่อเข้าโค้ง (upgrade, g1) +1% และเมื่อออกโค้ง (downgrade, g2) -2% ตัดกันที่จุด PVI STA. 10+500 มีค่าระดับ = 100 เมตร และกำหนดให้มีความยาวของเส้นโค้งในแนวราบ(horizontal surface, L) = 200 เมตร

ขั้นตอนการดำเนินงาน

1. คำนวณค่าพารามิเตอร์ a โดยใช้สูตร

, ค่า h โดยใช้สูตร

และค่า k โดยใช้สูตร

2. คำนวณหาค่า

ของแต่ละ STA. บนโค้งดิ่ง

3. คำนวณหาค่าระดับบน Grade line หรือค่าระดับบนเส้นสัมผัสของ STA. เหล่านั้น โดยใช้สูตร

วิธีนี้จะใช้ค่า

ตลอดระยะของ L

4. คำนวณค่าระดับ(Elevation on Curve) ของแต่ละ STA. โดยใช้สูตร

5. คำนวณค่า First difference ของแต่ละ STA.โดยใช้สูตร

ซึ่งค่า ∆′ ที่ PVC STA. จะมีค่าเท่ากับ

และค่า ∆′ ที่ PVT STA. จะมีค่าเท่ากับ

และเมื่อนำไปเขียนกราฟจะเป็นเส้นตรง และค่า First difference ที่ STA. PVC จะต้องเท่ากับ

ที่ STA. PVT จะต้องเท่ากับ

และที่จุด Vertex point จะต้องเท่ากับ 0

6. ตรวจสอบการคำนวณโดยการคำนวณหาค่า Second difference โดยใช้สูตร

ซึ่งค่า Second difference จะมีค่าคงที่และจะต้องเท่ากันทุกตัวและเท่ากับ

ถ้าการคำนวณถูกต้อง

> สรุปสูตรการใช้พาราโบลาในการคำนวณโค้งดิ่ง <

ตัวอย่าง วิธีการหาความยาวโค้ง

ตัวอย่างII : เส้นเอียงลาดลง ( g1 ) = 4% ตัดกับเส้นเอียงลาดขึ้น ( g2 ) = 5 % ที่ STA. 2 + 450.000 ที่มีค่าระดับเท่ากับ 216.420 เมตรและที่ STA. 2 + 350.000 ใต้ท้องสะพานมีค่าระดับ 235.540 เมตรต้องการวางโค้งทางดิ่งรูปพาราโบล่าแบบสมมาตรเชื่อมแนวเส้นลาดเอียงทั้งสองโดยมีช่องว่างระหว่างใต้ท้องสะพานกับถนนเท่ากับ 14 เมตร ดังรูป